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Parkettieren mit Deltoiden


Unter Parkettieren versteht man das lückenlose Auslegen einer ebenen Fläche mit kongruenten Figuren. Jedes beliebige Viereck eignet sich für eine Parkettierung. Das kann mit der im gezippten Ordner (siehe ganz unten) enthaltenen GeoGebra-Datei "Parkett-Vierecke" durch Verändern der vier markierten Punkte ausprobiert werden. Begründen lässt sich dieser Sachverhalt damit, dass die vier Seitenhalbierungspunkte bei jedem Viereck ein Parallelogramm bilden.


In einem Inserat einer Bodenbelagsfirma habe ich eine interessante Variante entdeckt: Halbiert man die Seiten eines regelmäßigen Sechsecks und verbindet gegenüberliegende Halbierungspunkte, so entstehen sechs spezielle Deltoide. Diese haben jeweils zwei rechte Winkel und daher wegen des Satzes von Thales auch einen Umkreis. (Einen Inkreis hat ja jedes Deltoid.) In den mit GeoGebra erstellten Bildern unten sind die Umkreise jeweils dünn eingezeichnet.

Da sich regelmäßige Sechsecke parkettieren lassen, ergeben die in Deltoide geteilten Sechsecke eine ästhetisch ansprechende Parkettierung. Drei an ihren stumpfen Winkeln zusammenhängende Deltoide ergeben im übrigen ein gleichseitiges Dreieck, sodass im obigen Bild auch eine Parkettierung aus gleichseitigen Dreiecken erkennbar ist.

Beim letzten Bild unten sind die Deltoide kaum mehr erkennbar. Die Eckpunkte sind jeweils mit dem Umkreismittelpunkt verbunden, wodurch vier Dreiecke entstehen, zwei gleichseitige in rot und zwei stumpfwinklige in blau. Die Winkel lassen sich leicht überlegen, weil das Deltoid neben den rechten Winkeln die Winkel 60° und 120° hat.


Die Schüler*innen könnten kongruente regelmäßige Sechsecke konstruieren, jeweils wie oben beschrieben in sechs Deltoide teilen und färbig gestalten. Die ausgeschnittenen Sechsecke könnten anschließend an der Wand parkettiert werden.

Parkett_Vierecke
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