Der Balkon dieses alten Kärntner Bauernhauses wird von Holzbalken verschiedener Form gehalten.
Der rechte Balken (siehe Foto unten links) lässt sich geometrisch vereinfacht so beschreiben: Verbindet man an der Vorderseite eines Würfels die Kantenmittelpunkte, so entsteht ein Quadrat. Dieses wird zu einem Prisma extrudiert, das bis zur Hinterseite des Würfels reicht. Durch Verdrehen um 90° und gleichzeitigem Verschieben um die halbe Würfelhöhe entstehen die einzelnen Elemente des Balkens. Unten ist ein aus drei Prismen zusammengesetzter "Balken" - mit GAM modelliert - dargestellt. (Wie am Foto erkennbar sind die Stirnseiten in Wirklichkeit jeweils Rauten.)
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Da die Elemente aus Würfeln generiert werden können, eignen sie sich sowohl für das händische Darstellen (beispielsweise in einer Axonometrie, bewährt haben sich die Angaben: αx = 115°, αy = 105°, vx = 2/3, vy = vz = 1, Würfel mit a = 6 cm) als auch für das Modellieren mit CAD.
Beim Konstruieren mit der Hand beginnt man am besten mit den Würfelbildern, mit deren Hilfe die Prismen rasch darstellbar sind. Anspruchsvoll sind lediglich die Schnittkanten zwischen den Prismen.
Beim Konstruieren mit CAD modelliert man ein Prisma durch Zuschneiden eines Würfels und erzeugt die anderen durch die entsprechenden Kongruenzabbildungen. Abschließend werden die Prismen vereinigt.
Bemerkungen:
In der Realität entsteht der Holzbalken natürlich nicht additiv durch Zusammensetzen mehrerer Teile, sondern subtraktiv durch Zuschneiden eines quadratischen Prismas. Interessant wäre die Aufgabe, einen der Teile zu untersuchen, die subtrahiert werden müssen, um die Form zu erhalten. Es handelt sich jeweils um eine Pyramide mit einem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck, das ein Achtel der Würfelfläche bildet, als Grundfläche. Die Höhe, die in einer der Ecken des Dreiecks, die 45° bilden, angebracht ist, misst die Länge der halben Würfelkante. Daraus folgt, dass die Pyramide ein Achtundvierzigstel des Würfels ausmacht. Da jeweils acht Pyramiden weggeschnitten werden, fällt also ein Sechstel des Würfels weg.
Eine anspruchsvolle Aufgabe, die ich im DG-Anfangsunterricht öfters gestellt habe, ist das Anfertigen eines Modells aus Zeichenpapier. Dabei müssen für das Entwickeln der Netze die wahren Längen einiger Kanten sowie das geschickte Anbringen der Klebefälze überlegt werden.
