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11 Würfelnetze - 35 Hexominos

Die Frage nach Würfelnetzen kann ab der Volksschule, Grundstufe II gestellt werden.


Beispiel:

Den Schüler*innen werden Kombinationen aus sechs Quadraten, die entlang von Kanten aneinandergereiht sind (= Hexominos, Quadratsechslinge) vorgegeben und die Kinder entscheiden, ob es sich dabei um ein Würfelnetz handelt. Die Schwierigkeit der Aufgabe variiert stark je nach dargebotenen Lernmaterial.

Schwierigkeitsgrad I: Die Netze werden in Papierform vorgegeben, die Schüler*innen können durch Falten entscheiden, ob es sich um „ein Würfelnetz“ oder „kein Würfelnetz“ handelt.

Schwierigkeitsgrad II (Kombination aus I und III): Die Schüler*innen erhalten ein Arbeitsblatt und werden aufgefordert die Aufgabe mental zu lösen. Würfelnetze aus Karton oder Papier werden als Tipp oder als Lösungshilfe für nicht gelöste Aufgaben angeboten.

Schwierigkeitsgrad III: Die Schüler*innen entscheiden ohne haptische Hilfestellung, ob es sich bei einem vorgegebenen Hexomino um ein Würfelnetz handelt.


Die 35 Hexominos (eigene Darstellung)

Diese Form der Aufgaben fördert das räumliche Denken der Kinder jedoch nur teilweise. Fordert man die Schüler*innen auf, verbal zu beschreiben, welche Überlegungen dazu geführt haben, ein Hexomino als Würfelnetz zu identifizieren, kann man mehrere Stufen bei der Entscheidung beobachten:

Phase 1: Am Anfang der Beschäftigung mit Würfelnetzen wird das räumliche Falten angewendet, um ein Netz als Würfelnetz zu erkennen.

Phase 2: Die 11 Würfelnetze, welche nicht durch Rotation oder Spiegelung (durch Wenden) deckungsgleich sind, werden nach wenigen Unterrichtsstunden von vielen Kindern wiedererkannt. Die Kinder geben den Würfelnetzen Namen („Das ist die Ente“,„Kreuz“) und erkennen die Netze in verschiedenen Lagen wieder („Auf den Kopf gedrehtes T“).

Phase 3: In weiterer Folge können Netze durch verschiedene Strategien, aus bereits bekannten Netzgrundformen abgeleitet werden. Ein systematisches Probieren und das Formulieren von kennzeichnenden Aussagen führt dann zu weiteren Formen von Würfelnetzen. (vgl. Schüler*innenbeschreibungen https://kira.dzlm.de/node/54,18. 04. 2022


Weitere Bemerkungen zu Hexominos:

Der Beweis, dass es genau 35 Hexominos gibt, ist nicht ein nicht triviales Problem der Kombinatorik und entfällt an dieser Stelle. Die 35 Hexominos können verschiedenen Symmetriegruppen zugetielt werden. In der nachfolgenden Abbildungen wurden die Hexominos mit derselben Symmetrie gleich gefärbt.

  • dunkelgrün: zwei zueinander normale Symmetrieachsen

  • blau: eine Symmetrieachse parallel zu den Kanten

  • orange: Drehsymmetrie

  • hellgrün: Symmetrieachse längs einer Diagonalen

  • grau: keine Symmetrieachsen


Die Symmetriegruppen der 35 Hexominos (eigene Darstellung)

Challange: Eine besondere Herausforderung stellt das Auffinden aller 35 Hexominos ohne Verwendung von weiteren Hilfsmittel dar.


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